extremos de funciones de varias variables ejercicios resueltos pdf

2 ) 3 , x y 16 Halle las trazas verticales de la funcin f(x,y)=senxcosyf(x,y)=senxcosy correspondiente a x=4,0,y4,x=4,0,y4, y y=4,0,y4.y=4,0,y4. , = ; 1wpA4"3[L w8|ACKQA Eo,z[c?j9,;BD"s)mk7+lq)MQ=FV;?L|Txq3FmpC~78;MW?2jECC4mWC\V{AqxAXda_Mu^DliPQ%]L,(c<3Q r# En los siguientes ejercicios, halle las trazas verticales de las funciones en los valores indicados de xx y y, y trace las trazas. X57UnBGKJSl%hyCg@:k"$Tb , z c w !1AQaq"2B #3Rbr , , x 2 = y y ( ) y x Cmo hallar los extremos absolutos de funciones de varias variables sobre un conjunto compacto. Al igual que las funciones de una variable, las de varias variables tambin = z La fuerza EE de un campo elctrico en un punto (x,y,z)(x,y,z) resultante de un cable cargado de longitud infinita tendido a lo largo del eje y y viene dada por E(x,y,z)=k/x2 +y2 ,E(x,y,z)=k/x2 +y2 , donde kk es una constante positiva. = y = 2. z ) Nuestra misin es mejorar el acceso a la educacin y el aprendizaje para todos. 3 x = 0. Tema: Funciones de varias variables Ejercicios resueltos Curvas de nivel 6.La siguiente tabla muestra el ndice de calor (en F) como una funci on de la temperatura y la humedad. , 3 = 3 x x Si ff tiene un extremo local en (x0,y0),(x0,y0), entonces (x0,y0)(x0,y0) es un punto crtico de f.f. x y y ; ; , ) 1.Calcular las derivadas parciales de primer y segundo orden de las siguientes funciones: Usaremos la notacin f0 2 x Esta funcin tiene dos variables independientes (xyy) y una variable dependiente (z). y Considere la funcin f(x)=x3.f(x)=x3. Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License. = 2 /Length 1265 Tambin examinamos las formas de relacionar los grficos de las funciones en tres dimensiones con los grficos de las funciones planas ms conocidas. Es decir el rea depende del valor del radio. 2 La curva de nivel correspondiente a c=2 c=2 se describe mediante la ecuacin. , y La siguiente figura muestra dos ejemplos. Ejercicio resuelto, paso a paso, utilizando el mtodo de los . El volumen de un cilindro circular recto se calcula mediante una funcin de dos variables, V(x,y)=x2 y,V(x,y)=x2 y, donde xx es el radio del cilindro circular recto e yy representa la altura del cilindro. Echemos un vistazo. + y ) e z + 2 , 25 , Solucin . + 2 2 = ) W(x,y)=4x2 +y2 .W(x,y)=4x2 +y2 . x = = 2 x Otra herramienta til para entender el grfico de una funcin de dos variables se llama traza vertical. 2 4 ) 10 ( 2 Definimos g(t)=f(x(t),y(t)):g(t)=f(x(t),y(t)): Esta funcin tiene un punto crtico en t=163,t=163, que corresponde al punto (0,163),(0,163), que est en el borde del dominio. 2 4 3 x y 2, f c 0 z Si redistribuye todo o parte de este libro en formato impreso, debe incluir en cada pgina fsica la siguiente atribucin: Si redistribuye todo o parte de este libro en formato digital, debe incluir en cada vista de la pgina digital la siguiente atribucin: Utilice la siguiente informacin para crear una cita. ) = = x x Una caja de cartn sin tapa debe hacerse con un volumen de 44 pies3. En los siguientes ejercicios, halle una ecuacin de la curva de nivel de ff que contiene el punto P.P. 8 y y 4 ( 1 ; + , 2 8 x y x Ejercicios Resueltos: clculo de extremos y de puntos de silla. ; El nmero f(x0,y0)f(x0,y0) se denomina valor mximo local. As an Amazon Associate we earn from qualifying purchases. + x } !1AQa"q2#BR$3br y , Regla de la segunda derivada. y y , 9 , f f , f x x y y , f 2 , y 1 Un mapa topogrfico contiene lneas curvas llamadas curvas de nivel. 4 2 f 2, f y = 2 ( = 8) La temperatura en cada punto (x;y) de un plano viene dada por una funci on T(x;y). 2 4 f 9 ( + Calcule W(2 ,1),W(2 ,1), W(3,6).W(3,6). , 2 ) c f = , ( 2 , f x x Tambin tenemos que hallar los valores de f(x,y)f(x,y) en las esquinas de su dominio. y x 2 x y x y Para las funciones de una sola variable, definimos los puntos crticos como los valores de la funcin cuando la derivada es igual a cero o no existe. Hasta ahora, solo hemos examinado funciones de dos variables. , = ; Si el lmite del conjunto DD es una curva ms complicada definida por una funcin g(x,y)=cg(x,y)=c para alguna constante c,c, y las derivadas parciales de primer orden de gg existen, entonces el mtodo de los multiplicadores de Lagrange puede ser til para determinar los extremos de ff en el borde. 2 x + 2 e Se dice que es un mximo local de si existe un entorno reducido de centro , en smbolos (), donde para todo elemento de se cumple () ().Para que esta propiedad posea sentido estricto debe cumplirse () < ().. Anlogamente se dice que el punto es un mnimo local de si existe . En los siguientes ejercicios utilice la Prueba de la segunda derivada para clasificar cualquier punto crtico y determine si cada punto crtico es un mximo, un mnimo, un punto de silla o ninguno de ellos. ( Volviendo a la funcin g(x,y)=9x2 y2 ,g(x,y)=9x2 y2 , podemos determinar las curvas de nivel de esta funcin. c Expresar el volumen V de ese depsito en funcin del radio r del cilindro y de su altura h. - Determinar si las siguientes funciones son acotadas: z sen 2 x y1 x y cos x -ey z c)z x 2sen ex y y 2sen 22 xy - Hallar el dominio y la imagen o recorrido de las funciones: x 2 y2 9 f(x, y) = ln( xy 6) b) g(x,y) = . ( x c ) x + = , ; >> endobj f x Sabiendo que la tasa de incremento de la temperatura en el punto P= (1;1) en la direcci on de v 1 = (1;1) es p 2 y en la direcci on de v 2 = (3;4) es 1, se pide: a)Calcular la direcci on de m aximo incremento de temperatura a partir de P. x x Copyright 2023 StudeerSnel B.V., Keizersgracht 424, 1016 GC Amsterdam, KVK: 56829787, BTW: NL852321363B01, aire caliente que produzca su sistema de calefaccin ascender, lo que supondr una, prdida de calor por unidad de techo igual a, la prdida de calor a travs de las 4 paredes, en el suelo, determinar las dimensiones del almacn que. = = f 2 4 y. f(x,y)=e(x2 +y2 +2 x)f(x,y)=e(x2 +y2 +2 x) grandes. y Mtodo de Resolucin Nos basaremos, bsicamente, en dos teoremas: Puntos crticos: segn teorema, 2 g 0 2, f y x 2 , x + y , y ) 1, g Evaluamos las derivadas parciales segundas en el punto crtico: Por tanto, el Hessiano en el punto crtico es. superficie presenta un mximo con respecto a una direccin y un mnimo con respecto a la direccin perpendicular. El dominio de una funcin de dos variables est formado por pares ordenados. y /Type /Page (Funciones de varias variables) x x + ( 2 1. z 2 ) En la siguiente figura aparece un ejemplo de punto de silla. = , 1999-2023, Rice University. ( = = 2, z y ) ( , 2 x Observe que es posible que alguno de los dos valores no sea un nmero entero; por ejemplo, es posible vender 2,52,5 mil tuercas en un mes. 2 = ( + 3 En esta seccin estudiaremos analticamente la existencia de extremos z x 1 ; 2 ( z 2 x y y x ; x de funciones de dos variables en el dominio de la funcin (que consideramos f ) Las ideas principales de hallar puntos crticos y utilizar pruebas derivadas siguen siendo vlidas, pero aparecen giros inesperados al evaluar los resultados. ) , Una fina placa de hierro se encuentra en el plano xy.xy. = + x , Esta funcin tiene un punto crtico en x=0,x=0, dado que f(0)=3(0)2 =0.f(0)=3(0)2 =0. x 1999-2023, Rice University. Esta ecuacin describe un hiperboloide de una hoja como se muestra en la siguiente figura. ; ) x y +#Q_A~ n*TU^ 1 Report DMCA Overview + ( , = FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Escuela Universitaria de Ingeniera Tcnica Industrial Bilbao 1. ) 2 S( ( ( ( o:o1iK1q7_kWOwOI>=nc^9]=kM S $ ?;/I5E}*~ 0j' `?2O*(] `?2O dXTQ$;#w d_{~ .u}NmGP{ZB"@ ?;+w'5 0OYIs^^`i3FA-[wQE|aEPEPEPEPEPEPEPEPEPEPEPEPEPEvs!6P2M ~m~_mGVlES* |5yW&" .O$$MVlRX :5(c4cJamF&" (MS'%*m'># /'>$0j'rdnuO5O 5Ok9W`d}YZPL,hFI2 |= ?[z|"\ds|LUI. EW9QE QE QE QE QE QE |qh6=2{5Y.#r5 q W2+>8f?s_O-O(7N2tN |>'K/&Kl|TqcW/t~-|NXR7|XG^CEWX,2~z )-}Q|D//=fWki-D&y{%>6? A1i%yY Utilice esta constante para determinar la temperatura en el punto Q(3,4).Q(3,4). ( f c = x 2, f En los siguientes ejercicios, halle todos los puntos crticos. y , , , 4 Reglas de la cadena para una o dos variables independientes. Para las funciones de dos o ms variables, el concepto es esencialmente el mismo, excepto por el hecho de que ahora estamos trabajando con derivadas parciales. y y debe atribuir a OpenStax. y = ( endobj x 4 x , = x Creative 36 x 1 ( ( 4 , ( ) = , ) xXKo6WloZf&[vj%W >6'!gx_Wb$%Sv'o=jHPV [s[S i}K:7{xEDoQSoH2 .p.0X6 l% "1MVM_Dyk{Ic?Vt=U>.N&Y`kN1?JA}zt=UIO7{&S~?!o;Svik`lL0miOu+| y [T] f(x,y)=sen(x)sen(y),x(0,2 ),y(0,2 )f(x,y)=sen(x)sen(y),x(0,2 ),y(0,2 ). L2 L2 es el segmento de lnea que une y (50,25),(50,25), y se puede parametrizar mediante las ecuaciones x(t)=50,y(t)=tx(t)=50,y(t)=t por 0t25.0t25. ( 2 2 Halle los valores de xx como yy que maximizan la ganancia y halle la ganancia mxima. ) Una de las aplicaciones ms tiles de las derivadas de una funcin de una variable es la determinacin de los valores mximos o mnimos. 3 x ) , , Examinar los puntos crticos y los puntos lmite para calcular los valores mximos y mnimos absolutos de una funcin de dos variables. y ) + c 2 Incremento de una funcin - Teorema del valor medio - Funciones diferenciables 04-1. y Un paraboloide es el grfico de la funcin dada de dos variables. ( 0 endobj Cules son el dominio y el rango de f?f? ( ) y 9 y ( y y ( + 2 ln y, f 1 y 15 2 ( , + , , y ) ( y y , 0 y + , y 2, g y x = y (b) Una foto en perspectiva de la Torre del Diablo muestra lo escarpados que son sus lados. Cuando tenemos todos estos valores, el mayor valor de la funcin corresponde al mximo global y el menor valor de la funcin corresponde al mnimo absoluto. 2 y y y y y z ) Supongamos que z=f(x,y)z=f(x,y) es una funcin de dos variables definida y continua en un conjunto abierto que contenga el punto (x0,y0).(x0,y0). ( + Esto se debe a que las primeras derivadas parciales de f(x,y)=x2 y2 f(x,y)=x2 y2 son ambos iguales a cero en este punto, pero no es ni un mximo ni un mnimo para la funcin. Un conjunto est delimitado si todos los puntos de ese conjunto pueden estar contenidos en una bola (o disco) de radio finito. La palabra funcinse usa con frecuencia para indicar una relacin o dependencia de una cantidad respecto de otra, estudia los siguientes ejemplos: a) El rea de un crculo es una funcin de su radio. 2 z , c 1, f + + 2 3 = Ejemplos de funciones de varias variables. = ( y x , y Evaluamos las derivadas parciales segundas en dicho punto: Con lo que, aplicando el teorema, el punto es un mnimo relativo. x + x /Filter /FlateDecode + 2 2 2 En los siguientes ejercicios, trace un grfico de la funcin. x ( 2 ) 2 , 2 b) El volumen de una caja cbica es una funcin de la longitud de uno de sus lados. 29 0 obj << y y Por tanto, aplicando el teorema, se trata de un mximo relativo. 21 0 obj ) 9, w y 4 correspondiente a c=2 ,c=2 , y describa la superficie, si es posible. y Si calculamos f(24,0)f(24,0) da como resultado 576.576. Supongamos ahora que f es una funcin de dos variables y g es . El contenido de los libros de texto que produce OpenStax tiene una licencia de Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License . En la segunda funcin, (x,y)(x,y) puede representar un punto en el plano, y tt puede representar el tiempo. /ColorSpace /DeviceRGB El grfico de las distintas curvas de nivel de una funcin se denomina lneas de contorno. y y g x (Federico Arnau Moya), Derecho Penal Parte Especial 21 Edicin 2017 (Muoz Conde), Teora Del Conocimiento (Snchez MecaDiego), Ejes De La Literatura Inglesa Medieval Y Renacentista (Cerezo Marta; De La Concha ngeles), Fundamentos De Psicobiologa (Abril Alonso Agueda Del; Ambrosio Flores Emilio; Blas Calleja M Rosario De; Caminero Gmez ngel A.; Garca Lecumberri Carmen; Pablo Gonzlez Juan Manuel De), O Contrato Social (Jean-Jacques Rousseau), Ciencias De La Tierra (Tarbuck Edwar J.; Lutgens Frederick K.), Historia De La Filosofa I (Guillermo Fraile), Derecho Mercantil (Roberto l. Mantilla Caballero y Jos Maria Abascal Zamora), La Edad Media: Siglos XIII-Xv (Donado Vara J.; Barquero Goi C.; Echevarra Arsuaga A. + w f ) , Consulte el problema anterior. En esta seccin estudiaremos analticamente la existencia de extremos de funciones de dos variables en el dominio de la funcin (que consideramos abierto). Cuando se trabaja con una funcin de dos variables, el intervalo cerrado se sustituye por un conjunto cerrado y delimitado. y x /Filter /FlateDecode y , , x La solucin a este sistema es x=21x=21 y y=3.y=3.

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